\subsection{直角三角形中成比例的线段}\label{subsec:czjh2-6-9}
\begin{enhancedline}

从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做\zhongdian{这点在这条直线上的正射影}。
图 \ref{fig:czjh2-6-30} 中，点 $P_1'$、$P_2'$、$P_3'$ 分别是点 $P_1$、$P_2$、$P_3$ 在直线 $MN$ 上的正射影。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-30}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-30}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{8.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-31}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-31}
    \end{minipage}
\end{figure}

一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做\zhongdian{这条线段在这条直线上的正射影}。
图 \ref{fig:czjh2-6-31} 中的那些线段 $A'B'$ 都是对应的线段 $AB$ 在直线 $MN$ 上的正射影
（当 $AB \perp MN$ 时， $A'B'$ 缩为一个点）。

点、线段在一条直线上的正射影，简称\zhongdian{射影}。

\begin{dingli}[定理]
    直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；
    每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
\end{dingli}

已知：图 \ref{fig:czjh2-6-32} 中， $AB$ 是 $Rt \triangle ABC$ 的斜边， $CD$ 是高。

求证：\begin{tblr}[t]{colsep=0pt}
    （1）$CD^2 = AD \cdot BD$； \\
    （2）$AC^2 = AD \cdot AB$， $BC^2 = BD \cdot AB$。
\end{tblr}

$\left.\begin{aligned}
    \text{\zhengming （1）} && \angle ACB = 90^\circ \\
                            && CD \perp AB
\end{aligned}\right\} \tuichu  \triangle ACD \xiangsi \triangle CBD  \tuichu \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{BD}{CD}  \tuichu CD^2 = AD \cdot BD \juhao$

（2）的证明由同学自己写出。

在第五章中，我们曾用面积割补法证明了勾股定理，现在利用上面的定理很容易证明勾股定理。
把上面的定理中 （2） 的两个关系式的两边分别相加，得

$AC^2 + BC^2 = AD \cdot AB + BD \cdot AB = AB(AD + BD) = AB^2$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-32}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-32}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-33}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-33}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 已知：$\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$， $CD$ 是高， $CE$ 是角平分线，
$AC = 9\;\limi$， $BC = 12\;\limi$ （图 \ref{fig:czjh2-6-33}）。求 $CD$、$CE$ 的长。

\jie 由勾股定理可得

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 15 \;\limi$。

$\therefore$ \quad \begin{tblr}[t]{colsep=0pt, rowsep=.5em}
    $BD = \dfrac{BC^2}{AB} = \dfrac{144}{15} = \dfrac{48}{5} \;(\limi)$， \\
    $AD = AB - BD = \dfrac{27}{5} \;(\limi)$； \\
    $CD = \sqrt{BD \cdot AD} = \dfrac{36}{5} \;(\limi)$。
\end{tblr}

$\because$ \quad $\angle ACE = \angle BCE$，

$\therefore$ \quad $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{BE} = \dfrac{AC + BC}{AE + BE}$。

得 \quad \begin{tblr}[t]{colsep=0pt, rowsep=.5em}
    $BE = \dfrac{BC \cdot AB}{AC + BC} = \dfrac{12 \times 15}{9 + 12} = \dfrac{60}{7} \;(\limi)$； \\
    $DE = BD - BE = \dfrac{48}{5} - \dfrac{60}{7} = \dfrac{36}{35} \;(\limi)$。
\end{tblr}

$\therefore$ \quad $CD = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{\left(\dfrac{36}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{36}{35}\right)^2} = \dfrac{36\sqrt{2}}{7} \;(\limi)$。


\begin{lianxi}

\xiaoti{证明本节定理（2）。}

\xiaoti{$CD$ 是 $Rt \triangle ABC$ 的斜边 $AB$ 上的高。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{已知 $AD = 9$ 厘米，$DB = 4$ 厘米。求 $CD$ 和 $AC$；}

    \xxt{已知 $AB = 25$ 厘米，$BC = 15$ 厘米。求 $DB$ 和 $CD$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{设 $CD$ 是 $Rt \triangle ABC$ 的斜边 $AB$ 上的高。求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\dfrac{AC^2}{CB^2} = \dfrac{AD}{DB}$；}
    \xxt{$CA \cdot CD = CB \cdot AD$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

